Umeshawahi kukutana na swali linakudhalilisha hadi unajiuliza kama ulisoma au ulilizwa? Basi leo nakuletea beast yenyewe, yenye kuhitaji hesabu za ukweli, concept za deep physics, na akili ya kutopea – sio tu kuwa good class, lazima uwe street smart na physics sharp!
Sasa naomba majibu ya hilo swali hapa! 👇🏽
Fikiria mfumo wa block mbili zenye mass tofauti: block A ina mass ya 5.0 kg na block B ina mass ya 3.0 kg. Block hizo zimeunganishwa na kamba isiyonyumbulika na isiyo na uzito, kisha kupitishwa juu ya pulley isiyo na msuguano. Pulley yenyewe ni ya cylindrical, ina mass ya 2.0 kg na radius ya 0.2 m. Pulley hiyo inaweza kuzunguka bila msuguano juu ya axle yake. Block A inaning’inia upande mmoja wa pulley na Block B iko kwenye meza tambarare yenye msuguano. Coefficient ya kinetic friction kati ya block B na meza ni 0.20.
(a) Chora free-body diagram kwa kila block pamoja na pulley.
(b) Tumia kanuni za Newton pamoja na torque na moment of inertia ya pulley (I = ½MR²) kuandika milinganyo ya harakati kwa mfumo wote.
(c) Tafuta acceleration ya mfumo.
(d) Tafuta tension kwenye kila upande wa kamba (yaani tension kati ya block A na pulley, na kati ya block B na pulley).
(e) Tafuta work done na friction force kwenye block B baada ya kusafiri umbali wa 2.5 m.
(f) Kama mfumo utaachiliwa kutoka kwenye static position, tafuta kasi ya block A baada ya umbali huo.
Mimi nimeshawahi face swali za hizi enzi za zamani – na ni kama unanyanyuliwa na physics yenyewe kama hauna akili timamu. So kama una beef na physics yangu, hebu let’s see if you got the real juice. Don’t just talk, solve this crazy piece of brain torture – kama unaeza, dro
p majibu yako hapa.
SOlution
(a) Free-body diagrams:
* Block A (inaning'inia):
* Nguvu ya mvutano (weight), \vec{W}_A = m_A \vec{g}, ikielekea chini.
* Nguvu ya tension kwenye kamba, \vec{T}_A, ikielekea juu.
* Block B (juu ya meza):
* Nguvu ya mvutano (weight), \vec{W}_B = m_B \vec{g}, ikielekea chini.
* Nguvu ya kawaida (normal force) kutoka kwenye meza, \vec{N}, ikielekea juu (sawa na \vec{W}_B kwa kuwa hakuna harakati ya wima).
* Nguvu ya tension kwenye kamba, \vec{T}_B, ikielekea kulia (tukiangalia mwelekeo wa harakati unaowezekana).
* Nguvu ya msuguano wa kinetic, \vec{f}_k = \mu_k N, ikielekea kushoto (inapinga harakati).
* Pulley (silinda inayozunguka):
* Nguvu ya tension kutoka block A, \vec{T}_A, ikivuta chini upande mmoja.
* Nguvu ya tension kutoka block B, \vec{T}_B, ikivuta kulia upande mwingine.
* Nguvu ya axle inayounga mkono pulley (haihusiki moja kwa moja na mwendo wa angular).
(b) Milinganyo ya harakati:
Tukichukulia kuwa acceleration ya block A ni a (ikielekea chini) na acceleration ya block B pia ni a (ikielekea kulia, kwa kuwa zimeunganishwa na kamba isiyonyumbulika), tunaweza kuandika milinganyo ifuatayo kwa kutumia sheria ya pili ya Newton kwa kila block na sheria ya pili ya Newton ya mzunguko kwa pulley:
* Block A:
m_A g - T_A = m_A a
* Block B:
T_B - f_k = m_B a
ambapo f_k = \mu_k N = \mu_k m_B g. Kwa hiyo,
T_B - \mu_k m_B g = m_B a
* Pulley:
Torque inayosababisha mzunguko wa pulley ni tofauti kati ya torques zinazosababishwa na tensions T_A na T_B. Torque (\tau) ni sawa na rF, ambapo r ni radius na F ni nguvu. Kwa hiyo, torque ya T_A ni rT_A (inasababisha mzunguko wa saa) na torque ya T_B ni rT_B (inapinga mzunguko wa saa). Tukichukulia mwelekeo wa mzunguko wa saa kama positive, tuna:
\tau_{net} = rT_A - rT_B = I \alpha
ambapo I ni moment of inertia ya pulley na \alpha ni angular acceleration. Kwa silinda, I = \frac{1}{2}MR^2. Pia, uhusiano kati ya linear acceleration a ya blocks na angular acceleration \alpha ya pulley ni a = r\alpha (kwa kuwa kamba haitelezi). Kwa hiyo, \alpha = a/r.
Tukiingiza hizi kwenye equation ya torque:
rT_A - rT_B = \left(\frac{1}{2}MR^2\right) \left(\frac{a}{r}\right) rT_A - rT_B = \frac{1}{2}MRa
Tukigawanya pande zote kwa r:
T_A - T_B = \frac{1}{2}Ma
Sasa tuna mfumo wa milinganyo mitatu yenye unknowns tatu (a, T_A, na T_B):
* m_A g - T_A = m_A a
* T_B - \mu_k m_B g = m_B a
* T_A - T_B = \frac{1}{2}Ma
(c) Kutafuta acceleration ya mfumo:
Tunaweza kujumlisha milinganyo yote tatu ili kuondoa T_A na T_B:
(m_A g - T_A) + (T_B - \mu_k m_B g) + (T_A - T_B) = m_A a + m_B a + \frac{1}{2}Ma
m_A g - \mu_k m_B g = \left(m_A + m_B + \frac{1}{2}M\right) a
Sasa tunaweza kutatua kwa a:
a = \frac{m_A g - \mu_k m_B g}{m_A + m_B + \frac{1}{2}M}
Tukiweka thamani zilizopewa (m_A = 5.0 kg, m_B = 3.0 kg, \mu_k = 0.20, M = 2.0 kg, g = 9.8 \, \text{m/s}^2):
a = \frac{(5.0 \, \text{kg})(9.8 \, \text{m/s}^2) - (0.20)(3.0 \, \text{kg})(9.8 \, \text{m/s}^2)}{5.0 \, \text{kg} + 3.0 \, \text{kg} + \frac{1}{2}(2.0 \, \text{kg})}$$$$a = \frac{49.0 \, \text{N} - 5.88 \, \text{N}}{5.0 \, \text{kg} + 3.0 \, \text{kg} + 1.0 \, \text{kg}}$$$$a = \frac{43.12 \, \text{N}}{9.0 \, \text{kg}}
a \approx 4.79 \, \text{m/s}^2
Kwa hiyo, acceleration ya mfumo ni takriban 4.79 \, \text{m/s}^2.
(d) Kutafuta tension kwenye kila upande wa kamba:
Sasa tunaweza kutumia thamani ya a kupata T_A na T_B kutoka kwenye milinganyo yetu ya awali.
* Tension T_A (kati ya block A na pulley):
Kutoka kwenye equation ya block A: m_A g - T_A = m_A a
T_A = m_A g - m_A a = m_A (g - a) T_A = (5.0 \, \text{kg})(9.8 \, \text{m/s}^2 - 4.79 \, \text{m/s}^2) T_A = (5.0 \, \text{kg})(5.01 \, \text{m/s}^2) T_A \approx 25.05 \, \text{N}
* Tension T_B (kati ya block B na pulley):
Kutoka kwenye equation ya block B: T_B - \mu_k m_B g = m_B a
T_B = m_B a + \mu_k m_B g = m_B (a + \mu_k g) T_B = (3.0 \, \text{kg})(4.79 \, \text{m/s}^2 + (0.20)(9.8 \, \text{m/s}^2)) T_B = (3.0 \, \text{kg})(4.79 \, \text{m/s}^2 + 1.96 \, \text{m/s}^2) T_B = (3.0 \, \text{kg})(6.75 \, \text{m/s}^2) T_B \approx 20.25 \, \text{N}
(e) Kutafuta work done na friction force kwenye block B:
Work done na nguvu ya msuguano inatolewa na W = \vec{f}_k \cdot \vec{d} = f_k d \cos{\theta}, ambapo f_k ni ukubwa wa nguvu ya msuguano, d ni umbali uliosafiri, na \theta ni angle kati ya nguvu ya msuguano na mwelekeo wa displacement. Katika kesi hii, nguvu ya msuguano inaelekea kushoto na displacement inaelekea kulia, kwa hiyo \theta = 180^\circ na \cos{180^\circ} = -1.
Ukubwa wa nguvu ya msuguano ni f_k = \mu_k m_B g = (0.20)(3.0 \, \text{kg})(9.8 \, \text{m/s}^2) = 5.88 \, \text{N}.
Umbali uliosafiri ni d = 2.5 \, \text{m}.
Kwa hiyo, work done na friction force ni:
W_f = (5.88 \, \text{N})(2.5 \, \text{m})(-1) = -14.7 \, \text{J}
Work done na friction force ni -14.7 Joules.
(f) Kutafuta kasi ya block A baada ya kusafiri umbali wa 2.5 m:
Tunaweza kutumia equation ya kinematics kwa constant acceleration: v_f^2 = v_i^2 + 2 a \Delta x.
Mfumo unaachiliwa kutoka kwenye static position, kwa hiyo initial velocity v_i = 0.
Acceleration ni a \approx 4.79 \, \text{m/s}^2.
Umbali uliosafiri ni \Delta x = 2.5 \, \text{m}.
v_f^2 = 0^2 + 2 (4.79 \, \text{m/s}^2)(2.5 \, \text{m})$$$$v_f^2 = 23.95 \, \text{m}^2/\text{s}^2$$$$v_f = \sqrt{23.95 \, \text{m}^2/\text{s}^2} \approx 4.89 \, \text{m/s}
Kasi ya block A baada ya kusafiri umbali wa 2.5 m ni takriban 4.89 \, \text{m/s} (ikielekea chini).
